12258. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AD
и BE
, пересекающиеся в точке O
. Угол DOC
равен 58^{\circ}
. Найдите углы треугольника ABC
, если известно, что точки D
, O
, E
и C
лежат на одной окружности.
Ответ. 56^{\circ}
, 64^{\circ}
, 60^{\circ}
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Тогда (см. задачу 4770) \angle AOB=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}
.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, поэтому CO
— биссектриса вписанного угла DCO
, а так как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то
\angle DEO=\angle DCO=\frac{\gamma}{2}=\angle ECO=\angle EDO.
Тогда
\angle AOB=\angle DEO=180^{\circ}-\angle DEO-\angle EDO=180^{\circ}-\gamma.
Из равенства
90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}=180^{\circ}-\gamma
находим, что \gamma=60^{\circ}
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\frac{\alpha}{2}=\angle CAO=\angle DOC-\angle ACO=58^{\circ}-30^{\circ}=28^{\circ}.
Следовательно, \alpha=56^{\circ}
, а
\beta=180^{\circ}-\alpha-\gamma=180^{\circ}-56^{\circ}-60^{\circ}=64^{\circ}.