12262. Точка M
— середина стороны AD
параллелограмма ABCD
. Прямая CM
наклонена к основанию AD
под углом 30^{\circ}
. Вершина B
равноудалена от прямой CM
и вершины A
. Найти углы параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма, если основание AD
равно 2.
Ответ. 60^{\circ}
и 120^{\circ}
; S=\sqrt{3}
.
Решение. Обозначим CD=AB=a
. Пусть BH
— перпендикуляр к CM
. Из прямоугольного треугольника BHC
получаем, что BC=2a
. Тогда
DM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC=a=CD.
Треугольник CDM
равнобедренный, поэтому \angle DCM=CMD=30^{\circ}
. Следовательно,
\angle ABD=\angle ADC=\angle MDC=180^{\circ}-2\cdot30^{\circ}=60^{\circ},
\angle BAD=\angle BCD=60^{\circ}.
Если BC=2a=2
, то a=1
. Следовательно,
S_{ABCD}=BC\cdot CD\sin\angle BCD=2\cdot1\sin60^{\circ}=\sqrt{3}.