12264. Центр окружности радиуса 1 лежит на окружности радиуса 2. Найти площадь объединения кругов, ограниченных этими окружностями.
Ответ. \pi+7\arccos\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{15}}{2}
.
Решение. Воспользуемся следующими формулами. Если радиус круга с центром O
равен R
, а центральный угол XOY
равен \varphi
, то площадь сектора XOY
равна \frac{1}{2}\varphi R^{2}
, а площадь соответствующего сегмента равна разности площадей сектора и треугольника XOY
, т. е. \frac{1}{2}R^{2}\sin\varphi-\frac{1}{2}R^{2}\sin\varphi
.
Пусть O
и Q
— центры данных окружностей радиусов 2 и 1 соответственно, BC
— общая хорда окружностей, D
— точка пересечения меньшей окружности с радиусом OQ
большей. Обозначим
\angle BQE=\angle CQE=\alpha,~\angle BOQ=\angle COQ=\gamma.
Искомая площадь объединения кругов равна сумме S_{1}+S_{2}-S
, где S_{1}
и S_{2}
— площади меньшего и большего кругов соответственно, а S
— площадь пересечения этих кругов. Общая хорда BC
разбивает это пересечения на два сегмента, площади которых равны
\frac{1}{2}\cdot2\alpha-\frac{1}{2}\cdot1^{2}\cdot\sin2\alpha=\alpha-\frac{1}{2}\sin2\alpha~\mbox{и}~\frac{1}{2}\cdot2\gamma\cdot4-\frac{1}{2}\cdot2^{2}\cdot\sin2\gamma=4\gamma-2\sin2\gamma.
Из равнобедренного треугольника BEQ
по теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\frac{1^{2}+2^{2}-2^{2}}{2\cdot1\cdot2}=\frac{1}{4}.
Тогда
\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4},~\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}}{8},
\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{1}{16}-\frac{15}{16}=-\frac{7}{8},~\sin4\alpha=2\sin2\alpha\cos2\alpha=-\frac{7\sqrt{15}}{32}.
Следовательно, площадь первого сегмента равна
\alpha-\frac{1}{2}\sin2\alpha=\arccos\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{15}}{16}.
Из равнобедренного треугольника BEQ
получаем
\gamma=\pi-2\alpha=\pi-2\arccos\frac{1}{4},
поэтому площадь второго сегмента равна
4\gamma-2\sin2\gamma=4\pi-8\arccos\frac{1}{4}-2\sin(2\pi-4\alpha)=\pi-8\arccos\frac{1}{4}+2\sin4\alpha=
=4\pi-8\arccos\frac{1}{4}-\frac{7\sqrt{15}}{16}.
Значит, площадь пересечения кругов равна
\left(\arccos\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{15}}{16}\right)+\left(4\pi-8\arccos\frac{1}{4}-\frac{7\sqrt{15}}{16}\right)=4\pi-7\arccos\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{15}}{2}.
Учитывая, что площади кругов равны \pi
и 4\pi
, находим, что искомая площадь их объединения равна
\pi+4\pi-\left(4\pi-7\arccos\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{15}}{2}\right)=4\pi+7\arccos\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{15}}{2}.