12279. На стороне AC
треугольника ABC
отмечены точки M
и N
(M
лежит на отрезке AN
). Известно, чтоAB=AN
, BC=MC
. Описанные окружности треугольников ABM
и CBN
пересекаются в точках B
и K
. Сколько градусов составляет угол AKC
, если \angle ABC=68^{\circ}
.
Ответ. 124.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Треугольник BAN
равнобедренный, поэтому \angle BNA=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
. Тогда
\angle BNC=180^{\circ}-\angle BNA=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}.
Аналогично, \angle BMA=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}
. Эти углы вписаны с соответствующие окружности, поэтому по теореме о вписанных углах
\angle BKA=\angle BMA=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2},~\angle BKC=\angle BNC=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}.
Следовательно,
\angle AKC=360^{\circ}-\angle BKA-\angle BKC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\alpha+\gamma)=
=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-68^{\circ})=
=90^{\circ}-34^{\circ}=124^{\circ}.
Примечание. Поскольку \angle BKA=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
и \angle BKC=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}
, точка K
— центр вписанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 4770).