12280. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
. Известно, что \angle C=57^{\circ}
, \sin\angle A+\sin\angle B=\sqrt{2}
и \cos\angle A+\cos\angle B=2-\sqrt{2}
. Сколько градусов составляет угол D
?
Ответ. 168.
Решение. Применив формулы тригонометрии, получим
\sqrt{2}=\sin\angle A+\sin\angle B=2\sin\frac{\angle A+\angle B}{2}\cos\frac{\angle A-\angle B}{2},
2-\sqrt{2}=2\cos\frac{\angle A+\angle B}{2}\cos\frac{\angle A-\angle B}{2}.
Оба выражения отличны от нуля. Разделим первое равенство на второе и учитывая, что \cos\frac{\angle A-\angle B}{2}\ne0
, получим равенство
\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\tg\frac{\angle A+\angle B}{2},~\mbox{или}~\tg\frac{\angle A+\angle B}{2}=\sqrt{2}+1.
По формуле для тангенса двойного угла
\tg(\angle A+\angle B)=\frac{2\tg\frac{\angle A+\angle B}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\angle A+\angle B}{2}}=\frac{2(\sqrt{2}+1)}{1-(\sqrt{2}+1)^{2}}=\frac{2\sqrt{2}+2}{-2\sqrt{2}-2}=-1,
т. е. \angle A+\angle B=180^{\circ}\cdot k-45^{\circ}
для некоторого целого k
.
Поскольку четырёхугольник выпуклый, углы A
и B
меньше 180^{\circ}
, а так как сумма их косинусов положительна, то они не могут быть оба тупыми. Значит, \angle A+\angle B\lt270^{\circ}
. Это возможно только для k=1
. Тогда \angle A+\angle B=135^{\circ}
. Следовательно,
\angle D=360^{\circ}-(\angle A+\angle B+\angle C)=360^{\circ}-(135^{\circ}+57^{\circ})=168^{\circ}.
Примечание. Рассмотрим векторы \overrightarrow{a}=(\cos\angle A;\sin\angle A)
и \overrightarrow{b}=(\cos\angle B;\sin\angle B)
и их сумму \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(\cos\angle A+\cos\angle B;\sin\angle A+\sin\angle B)
. Параллелограмм, построенный на векторах \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
как на сторонах, — ромб, поскольку |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1
. Значит, его диагональ — биссектриса угла между \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
. Отсюда получаем, что угол между осью абсцисс и вектором \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
равен \frac{1}{2}(\angle A+\angle B)
. Это объясняет, почему при делении одной координаты вектора на другую в решении получен \tg(\angle A+\angle B)
.