12294. На сторонах AC
и BC
треугольника ABC
построены вне его квадраты ACDE
и CBFG
.
а) Докажите, что середина M
стороны AB
равноудалена от центров квадратов.
б) Найдите площадь треугольника DMG
, если AC=6
, BC=8
, AB=10
.
Ответ. 49.
Решение. а) Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры квадратов ACDE
и CBFG
. Тогда MO_{1}
и MO_{2}
— средние линии треугольников ABD
и ABG
, поэтому достаточно доказать, что BD=AG
Треугольники BCD
и GCA
равны по двум сторонам (BC=CG
, AC=CD
) и углу между ними:
\angle BCD=\angle ACB+\angle ACD=\angle ACB+90^{\circ}=\angle BCA+\angle BCG=\angle ACG.
Значит, BD=AG
. Следовательно,
MO_{1}=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AG=MO_{2}.
б) Треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, так как
AC^{2}+BC^{2}=36+64=100=AB^{2}.
Прямоугольные треугольники DCG
и ACB
равны по двум катетам. Пусть прямые CM
и DG
пересекаются в точке K
. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle CDG=\alpha,~\angle KCG=\angle ACM=\angle CAM=\alpha,~
\angle CGK=90^{\circ}-\alpha,~\angle CKG=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ})-\alpha)=90^{\circ}.
Значит, CK\perp DG
, а MK
— высота треугольника DMG
.
Из прямоугольного треугольника DCG
находим, что
CK=\frac{CD\cdot CG}{DG}=\frac{6\cdot8}{10}=\frac{24}{5},
а так как CM
— медиана прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла, то CM=\frac{1}{2}AB=5
(см. задачу 1109). Тогда
MK=CM+CK=5+\frac{24}{5}=\frac{49}{5}.
Следовательно,
S_{\triangle DMG}=\frac{1}{2}DG\cdot MK=5\cdot\frac{49}{5}=49.