12297. На катетах AC
и BC
прямоугольного треугольника ABC
расположены вершины соответственно K
и M
квадрата KCMN
, а на гипотенузе AB
— вершина N
. Вершины X
и Y
квадрата XYZT
расположены на катетах соответственно AC
и BC
, а вершины Z
и T
— на гипотенузе AB
.
а) Докажите, что точка C
и центры квадратов лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение сторон квадратов, если AC=3
и BC=4
.
Ответ. 37:35
.
Решение. а) Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры первого и второго квадратов соответственно. Поскольку \angle ACO_{1}=\angle KCO_{1}=45^{\circ}
, точка O_{1}
лежит на биссектрисе угла ACB
.
Из точек C
и O_{2}
отрезок XY
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром XY
. Вписанные в эту окружность углы XCO_{2}
и YCO_{2}
опираются на равные хорды (O_{2}X=O_{2}Y
как половины диагонали квадрата), поэтому точка O_{2}
также лежит на биссектрисе угла ACB
. Следовательно, точки C
, O_{1}
и O_{2}
лежат на одной прямой.
б) Пусть стороны первого и второго квадратов равны a
и b
соответственно, а \angle BAC=\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\frac{4}{3}=\frac{KN}{AK}=\frac{a}{3-a},~
откуда a=\frac{12}{7}
.
Из прямоугольных треугольников ATX
и BZY
получаем, что
AT=\frac{b}{\tg\alpha}=\frac{3}{4}b,~BZ=b\tg\alpha=\frac{4}{3}b.
Из равенства
5=AB=AT+TZ+BZ=\frac{3}{4}b+b+\frac{4}{3}b=\frac{37}{12}b,
находим, что b=\frac{60}{37}
. Следовательно,
\frac{a}{b}=\frac{\frac{12}{7}}{\frac{60}{37}}=\frac{37}{35}.