12299. Дан треугольник ABC
со сторонами AB=20
, AC=12
и BC=16
. Точки M
и N
— середины сторон AB
и AC
соответственно.
а) Докажите, что окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается одной из средних линий.
б) Найдите общую хорду окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC
, а вторая описана около треугольника AMN
.
Ответ. \frac{8\sqrt{21}}{5}
.
Решение. а) Из теоремы, обратной теореме Пифагора, следует, что треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
. Пусть радиус его вписанной окружности равен r
. Тогда
r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{12+16-20}{2}=4
(см. задачу 217).
Пусть K
— середина катета BC
. Тогда расстояние между прямыми KM
и AC
равно длине отрезка CK
, т. е. 8. Значит, расстояние между этими прямыми равно диаметру вписанной в треугольник ABC
окружности. Следовательно, эта окружность касается средней линии KM
.
б) Треугольник AMN
прямоугольный с прямым углом при вершине N
, значит, центр описанной окружности треугольника AMN
— середина Q
отрезка AM
, а радиус равен 5. Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон AB
и AC
в точках E
и F
соответственно, а O
— её центр. Тогда
CF=r=4,~AE=AF=AC-CF=12-4=8,~
EQ=AE-AQ=8-5=3,~OQ=\sqrt{OE^{2}+EQ^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5.
Пусть L
— одна из точек пересечения рассматриваемых окружностей. Общая хорда пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров и делится ею пополам (см. задачу 1130), значит, искомое расстояние равно удвоенной высоте LH
треугольника OLQ
со сторонами OQ=5
, OL=4
и QL=5
, проведённой из вершины L
. Высота QT
этого равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, значит,
QT=\sqrt{LQ^{2}-LT^{2}}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21},
поэтому
LH=\frac{OL\cdot QT}{OQ}=\frac{4\sqrt{21}}{5}.
Следовательно, искомое расстояние равно \frac{8\sqrt{21}}{5}
.