12311. Центр O_{1}
окружности S_{1}
расположен на окружности S
большего радиуса с центром O
. Общие касательные этих окружностей пересекаются в точке M
и касаются меньшей окружности в точках A
и D
, а большей — в точках B
и C
(A
между B
и M
, D
между C
и M
). Меньшая окружность пересекает отрезок MO_{1}
в точке P
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD
— трапеция, а прямая, проходящая через общие точки окружностей содержит среднюю линию этой трапеции.
б) Найдите общую хорду окружностей S_{1}
и S
, если известно, что MO=2MP
, а радиус меньшей окружности равен 1.
Ответ. \frac{\sqrt{14}}{2}
.
Решение. а) У равнобедренных треугольников AMD
и BMC
общий угол при вершине, поэтому равны углы при основаниях, т. е. \angle MAD=\angle MBC
. Следовательно, AD\parallel BC
, а так как AD\lt BC
, то ABCD
— трапеция.
Пусть прямая, проходящая через общие точки E
и F
окружностей, пересекает боковую сторону AB
трапеции ABCD
в точке K
(E
между K
и F
). По теореме о касательной и секущей KA^{2}=KE\cdot KF=KB^{2}
(см. задачу 93). Значит, KA=KB
, т. е. K
— середина AB
. Аналогично, точка L
пересечения прямой EF
с боковой стороной CD
есть середина CD
. Следовательно, средняя линия KL
трапеции лежит на прямой EF
. Что и требовалось доказать.
б) Пусть R
и r
— радиусы окружностей, R\gt r
. Тогда
MP=OP=OO_{1}+O_{1}P=R+r,~MO_{1}=MP+O_{1}P=(R+r)+r=R+2r.
Из подобия прямоугольных треугольников MOB
и MO_{1}A
получаем, что \frac{OB}{OM}=\frac{O_{1}A}{O_{1}M}
, или \frac{R}{2(R+r)}=\frac{r}{R+2r}
, откуда R=r\sqrt{2}
.
Искомая общая хорда EF
равна удвоенной высоте равнобедренного треугольника OFO_{1}
со сторонами OF=OO_{1}=R
и O_{1}F=r
, опущенной на боковую сторону OO_{1}
. Пусть OH
— высота этого треугольника, опущенная на основание. Тогда
OH=\sqrt{R^{2}-\frac{r^{2}}{4}}=\sqrt{2r^{2}-\frac{r^{2}}{4}}=\frac{r\sqrt{7}}{2}.
Следовательно (см. задачу 1967),
EF=2\cdot\frac{OH\cdot OF}{OO_{1}}=2\cdot\frac{r\cdot\frac{r\sqrt{7}}{2}}{r\sqrt{2}}=\frac{r\sqrt{14}}{2}=\frac{\sqrt{14}}{2}.