12318. Две окружности разных радиусов касаются внешним образом в точке C
. Вершины A
и B
равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом C
лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая AC
вторично пересекает большую окружность в точке E
, а прямая BC
вторично пересекает меньшую окружность в точке D
.
а) Докажите, что прямые AD
и BE
параллельны.
б) Найдите BC
, если радиусы окружностей равны \sqrt{15}
и 15.
Ответ. \frac{15}{2}
.
Решение. а) Пусть LM
— общая касательная двух окружностей, причём точки L
и B
лежат по разные стороны от прямой AC
, а точки L
и M
лежат по разные стороны от точки C
. Тогда по теореме об угле между касательной и хордой
\angle CAD=\angle DCL=\angle MCB=\angle CEB.
Значит, прямые AD
и BE
параллельны, поскольку накрест лежащие углы CAD
и CEB
при пересечении этих прямых прямой AE
равны.
б) Поскольку угол ACB
прямой, AD
и BE
— диаметры меньшей и большей окружностей соответственно. Прямоугольные треугольники ACD
и CEB
подобны по двум углам (\angle CAD=\angle CEB
) с коэффициентом подобия \frac{AD}{BE}=\frac{\sqrt{15}}{15}
.
Пусть BC=AC=x
, тогда
CD=\frac{\sqrt{15}}{15}\cdot BC=\frac{x\sqrt{15}}{15}.
Из прямоугольного треугольника ACD
получаем
AD^{2}=AC^{2}+CD^{2},~60=x^{2}+\frac{x^{2}}{15},
откуда x=\frac{15}{2}
.