12319. Точка Q
— центр окружности S_{1}
, касающейся стороны BC
и продолжений сторон AB
и AC
треугольника ABC
, точка O
— центр окружности S_{2}
, описанной около треугольника BQC
.
а) Докажите, что точка O
лежит на окружности, описанной около треугольника ABC
.
б) Найдите косинус угла BAC
, если радиус окружности S_{2}
относится к радиусу описанной окружности треугольника ABC
как 5:4
.
Ответ. 7:32
.
Решение. а) Обозначим \angle BAC=\alpha
. Поскольку Q
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
, то \angle BQC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770). Центральный угол BOC
окружности S_{2}
, соответствующий вписанному углу BQC
, вдвое больше угла BQC
, т. е. равен 180^{\circ}-\alpha
. Сумма углов при вершинах A
и O
четырёхугольника ABOC
равна 180^{\circ}
, значит, этот четырёхугольник вписанный. Следовательно, точка O
лежит на окружности, описанной около треугольника ABC
.
б) Пусть R
и r
— радиусы окружности S_{2}
и описанной окружности треугольника ABC
соответственно. По теореме синусов
r=\frac{BC}{2\sin\alpha},~R=\frac{BC}{2\sin\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{BC}{2\cos\frac{\alpha}{2}}.
Значит,
\frac{5}{4}=\frac{R}{r}=\frac{\frac{BC}{2\cos\frac{\alpha}{2}}}{\frac{BC}{2\sin\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{\cos\frac{\alpha}{2}}=2\sin\frac{\alpha}{2},
откуда \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{5}{8}
. Следовательно,
\cos\alpha=1-2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1-2\cdot\frac{25}{64}=\frac{7}{32}.