12326. На окружности с диаметром MN=26
взята точка K
. Высота KP
треугольника MKN
равна 12. Хорда KE
пересекает диаметр MN
в точке F
под углом, равным \arccos\frac{3}{5}
, а центр окружности лежит между точками F
и P
.
а) Докажите, что KF:FE=25:17
.
б) Найдите площадь треугольника KEN
.
Ответ. \frac{4284}{25}=171{,}36
.
Решение. а) Пусть O
— центр окружности, а для определённости точка F
лежит на отрезке OM
. Обозначим \angle KFN=\alpha
. Тогда \cos\alpha\frac{3}{5}
, \sin\alpha=\frac{4}{5}
. Из прямоугольных треугольников KOP
и KPF
находим, что
OP=\sqrt{OK^{2}-KP^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5,~
KF=\frac{KP}{\sin\alpha}=\frac{12}{\frac{4}{5}}=15,~PF=KF\cos\alpha=15\cdot\frac{3}{5}=9.
Тогда
NF=NO+OF=NO+(PF-OP)=13+(9-5)=17,~
FM=MN-NF=26-17=9.
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд получаем, что KF\cdot FE=NF\cdot FM
, откуда находим, что
FE=\frac{NF\cdot FM}{KF}=\frac{17\cdot9}{15}=\frac{51}{5}.
Следовательно,
\frac{KF}{FE}=\frac{15}{\frac{51}{5}}=\frac{25}{17}.
б) Обозначим \angle KOP=\beta
. Из прямоугольного треугольника KOP
находим, что
\cos\beta=\frac{OP}{OK}=\frac{5}{13},
а так как KON
— центральный угол, соответствующий вписанному углу KEN
, то
\angle KEN=\frac{1}{2}\angle KON=\frac{1}{2}KOP=\frac{\beta}{2}.
Значит,
\sin\angle KEN=\sin\frac{\beta}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{5}{13}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{13}}.
Из треугольника EFN
получаем, что
EN^{2}=EF^{2}+FN^{2}-2EF\cdot FN\cos(180^{\circ}-\alpha)=\left(\frac{51}{5}\right)^{2}+17^{2}+2\cdot\frac{51}{5}\cdot17\cdot\frac{3}{5}=
=\frac{51^{2}+5^{2}\cdot17^{2}+2\cdot51^{2}}{25}=\frac{17^{2}(9+25+18)}{25}=\frac{17^{2}\cdot52}{25},
Значит, EN=\frac{34\sqrt{13}}{5}
. Следовательно,
S_{\triangle KEN}=\frac{1}{2}KE\cdot EN\sin\angle KEN=\frac{1}{2}(KF+FE)\cdot EN\sin\frac{\beta}{2}=
=\frac{1}{2}\left(15+\frac{51}{5}\right)\cdot\frac{34\sqrt{13}}{5}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{4284}{25}=171{,}36.