12328. В треугольнике ABC
проведена биссектриса BL
. На стороне AB
взята такая точка K
, что KL\parallel BC
. Окружность, описанная около треугольника AKC
, повторно пересекает отрезок BC
в точке M
.
а) Докажите, что AK=BM
.
б) Найдите площадь четырёхугольника AKMC
, если площадь треугольника ABC
равна 81 и AB:BC=4:5
.
Ответ. 65.
Решение. а) Отрезки KL
и BC
параллельны, поэтому
\angle KLB=\angle CBL=\angle KBL.
Значит, треугольник KBL
равнобедренный, BK=KL
.
Треугольники MBK
и AKL
подобны по двум углам, так как
\angle MBK=\angle LKA,~\angle BKM=180^{\circ}-\angle AKM=\angle ACM=\angle ALK.
Поскольку BK
и KL
— соответствующие стороны этих треугольников и BK=KL
, то коэффициент подобия равен 1, поэтому треугольники MBK
и AKL
равны. Следовательно, AK=BM
.
б) Треугольник MBK
подобен треугольнику ABC
по двум углам, так как угол при вершине B
общий, а \angle BKM=\angle ALK=\angle ACB
. Значит,
\frac{BM}{BK}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{5}.
Пусть BM=4x
, тогда
BK=5x,~AB=AK+KB=BM+BK=9x.
Коэффициент подобия треугольников MBK
и ABC
равен \frac{BM}{AB}=\frac{4}{9}
. Следовательно,
S_{AKMC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BKM}=S_{\triangle ABC}-\frac{16}{81}S_{\triangle ABC}=81-16=65.