12333. Основания трапеции относятся как 1:3
. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Ответ. 5:27
.
Решение. Пусть основания BC
и AD
трапеции ABCD
равны a
и 3a
, прямая, проходящая через точку O
пересечения диагоналей параллельно основаниям, пересекает боковые стороны AB
и CD
в точках M
и N
соответственно, а высота трапеции равна h
Треугольник BOC
подобен треугольнику DOA
с коэффициентом \frac{BC}{AD}=\frac{1}{3}
, значит, отношение высот этих треугольников, проведённых из общей вершины O
, равно \frac{1}{3}
, а высоты трапеций BCMN
и ADNM
равны \frac{1}{4}h
и \frac{3}{4}h
соответственно.
Треугольник AOM
подобен треугольнику ACB
с коэффициентом \frac{AO}{AC}=\frac{3}{4}
, поэтому
OM=\frac{3}{4}BC=\frac{3}{4}a.
Аналогично, ON=\frac{3}{4}a
, значит, MN=\frac{3}{2}a
. Следовательно,
\frac{S_{BCMN}}{S_{ADNM}}=\frac{\frac{\frac{3}{2}a+a}{2}\cdot\frac{1}{4}h}{\frac{\frac{3}{2}a+3a}{2}\cdot\frac{3}{4}h}=\frac{\left(\frac{3}{2}a+a\right)h}{\left(\frac{3}{2}a+3a\right)3h}=\frac{\frac{3}{2}+1}{3\left(\frac{3}{2}+3\right)}=\frac{5}{27}.