12340. Стороны AC
, AB
, BC
треугольника ABC
равны 2\sqrt{5}
, \sqrt{13}
и 1 соответственно. Точка K
расположена вне треугольника ABC
, причём отрезок KC
пересекает отрезок AB
в точке, отличной от B
. Известно, что треугольник с вершинами K
, A
и C
подобен исходному. Найдите косинус угла AKC
, если \angle KAC\gt90^{\circ}
.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{5}}
.
Решение. Рассмотрим подобные треугольники ABC
и AKC
и установим соответствие между их углами. Поскольку AC=2\sqrt{5}\gt\sqrt{13}\gt1
, эта сторона — наибольшая в треугольнике ABC
(см. задачу 3499), а значит, ABC
— наибольший угол этого треугольника. В треугольнике AKC
есть тупой угол KAC
, поэтому в треугольнике ABC
ему равен угол ABC
. Следовательно, угол ACB
треугольника ABC
не равен углу KAC
треугольника AKC
. Он также не равен углу KCA
, так как больше его (луч CK
проходит между сторонами угла ACB
). Следовательно, \angle AKC=\angle ACB
. По теореме косинусов из треугольнике ABC
находим, что
\cos\angle AKC=\cos\angle ACB=\frac{AC^{2}+BC^{2}-AB^{2}}{2AC\cdot AB}=\frac{20+1-13}{2\cdot2\sqrt{5}\cdot1}=\frac{2}{\sqrt{5}}.