12353. Площадь прямоугольного треугольника равна 1, а его гипотенуза равна 5. Найдите косинус острого угла между медианами данного треугольника, проведёнными к его катетам.
Ответ. \frac{5}{\sqrt{34}}
.
Решение. Пусть BC=a
и AC=b
— катеты прямоугольного треугольника ABC
, а медианы AL
и BK
пересекаются в точке M
. Предположим для определённости, что a\gt b
.
По теореме Пифагора a^{2}+b^{2}=5
, а так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то ab=2
, или a^{2}b^{2}=4
. Поскольку a\gt b
, то a^{2}=4
и b=1
, а так как a
и b
положительны, то a=2
и b=1
.
Из прямоугольных треугольников ACL
и BCK
находим, что
AL=\sqrt{AC^{2}+CL^{2}}=\sqrt{1+2}=\sqrt{2},~BK=\sqrt{BC^{2}+CK^{2}}=\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2},
а так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1
, считая от вершины треугольника, то
AM=\frac{2}{3}AL=\frac{2\sqrt{2}}{3},~MK=\frac{1}{3}BK=\frac{\sqrt{17}}{6}.
Следовательно, по теореме косинусов
\cos\angle AMK=\frac{AM^{2}+MK^{2}-AK^{2}}{2AM\cdot MK}=\frac{\frac{8}{9}+\frac{17}{36}-\frac{1}{4}}{2\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{17}}{6}}=\frac{5}{\sqrt{34}}.