12358. В треугольнике ABC
проведена биссектриса AD
, сторона AC
равна 2. Описанная около треугольника ABD
окружность проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ACD
. Найдите площадь треугольника ACD
, если R_{1}:R_{2}=\sqrt{3}
, где R_{1}
и R_{2}
— радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD
и ACD
соответственно.
Ответ. \frac{\sqrt{12-6\sqrt{3}}}{4}
.
Решение. Пусть O
— центр вписанной в треугольник ACD
окружности, \angle CAO=\alpha
, \angle ABO=\beta
. Лучи AO
и AD
— биссектрисы углов CAD
и CAB
соответственно, поэтому
\angle OAD=\alpha,~\angle DAB=2\alpha.
По условию точка O
лежит на описанной окружности треугольника ABD
, поэтому
\angle DBO=\angle AOD=\alpha,~\angle ODC=\angle ODA=\angle OBA=\beta.
Из треугольников ACD
и ABC
получаем
2\alpha+2\beta+\angle C=180^{\circ},~4\alpha+\alpha+\beta+\angle C=180^{\circ}.
Вычитая первое равенство из второго, получим, что 3\alpha-\beta=0
, откуда \beta=3\alpha
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle\angle ABD=\angle ADC-\angle BAD=2\beta-2\alpha=6\alpha-2\alpha=4\alpha=\angle BAC.
Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный, AC=BC
.
По теореме синусов
2R_{1}=\frac{AD}{\sin\angle ABD}=\frac{AD}{\sin4\alpha},~2R_{2}=\frac{AD}{\sin\angle ACD}=\frac{\sqrt{2}}{\sin(180^{\circ}-8\alpha)}=\frac{AD}{\sin8\alpha},
отсюда получаем, что
\frac{\sin8\alpha}{\sin4\alpha}=\frac{R_{1}}{R_{2}}=\sqrt{3},~\mbox{или}~\cos4\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Значит,
4\alpha=30^{\circ},~\angle ACB=180^{\circ}-8\alpha=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
\angle CAD=2\alpha=15^{\circ},~\angle ADC=6\alpha=45^{\circ}.
По теореме синусов
\frac{AC}{\sin\angle ADC}=\frac{AD}{\sin ACB},~\frac{\sqrt{2}}{\sin45^{\circ}}=\frac{AD}{\sin120^{\circ}},~
откуда
AD=\frac{\sqrt{2}\sin120^{\circ}}{\sin45^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin2\alpha=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\sin15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot\sqrt{\frac{1-\cos30^{\circ}}{2}}=
=\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}\cdot\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{12-6\sqrt{3}}}{4}.