12390. Диагонали параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
. В треугольниках OAB
, OBC
, OCD
проведены медианы OM
, OM'
, OM''
и биссектрисы OL
, OL'
, OL''
соответственно. Докажите, что углы MM'M''
и LL'L''
равны.
Решение. Обозначим AB=a
, BC=b
, OB=c
, AO=OC=d
. По теореме о биссектрисе треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BL}{AL}=\frac{BO}{AO}~\Leftrightarrow~\frac{BL}{a-BL}=\frac{c}{d}~~\Leftrightarrow~BL=\frac{ac}{c+d}.
Аналогично, BL'=\frac{bc}{c+d}
. Значит,
\frac{BL}{BL'}=\frac{a}{b}=\frac{BA}{BC}=\frac{BM}{BM'}.
Значит, треугольники LBL'
и MBM'
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Поэтому LL'\parallel MM'
. Аналогично, L'L''\parallel M'M''
. Стороны углов MM'M''
и LL'L''
сонаправлены, поэтому эти углы равны.