12393. Дан равнобедренный треугольник ABC
. На боковой стороне AB
отметили точку M
, причём CM=AC
. Затем на боковой стороне BC
отметили точку N
, причём BN=MN
, и провели биссектрису NH
треугольника CNM
. Докажите, что точка H
лежит на медиане BK
треугольника ABC
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\angle ACB=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Тогда в равнобедренных треугольниках ACM
и BMN
известно, что \angle AMC=\alpha
и \angle BMN=\beta
. Значит,
\angle CMN=180^{\circ}-\angle AMC-\angle BMN=180^{\circ}-\alpha-\beta=\angle ACB=\alpha=\angle AMC,
т. е. луч MC
— биссектриса угла AMN
, а H
— точка пересечения биссектрис углов CNM
и AMN
. Тогда точка H
равноудалена от прямых NM
и NC
, а также от прямых MN
и MA
, поэтому точка H
равноудалена от сторон угла ABC
. Следовательно, точка H
лежит на биссектрисе BK
равнобедренного треугольника ABC
, которая совпадает с его медианой. Отсюда и следует утверждение задачи.