12400. На сторонах угла с вершиной Q
отмечены точки M
и N
, а внутри угла — точка E
, причём QE=MN
, \angle MQE=\angle QNM
, \angle EQN+\angle QNE=\angle QMN
. Найдите угол MQN
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть
\angle EQN=\alpha,~\angle QNE=\beta,~\angle MQE=\angle QNM=\gamma.
Тогда по условию
\angle QMN=\alpha+\beta,
а из треугольника QEN
получаем
\angle QNE=180^{\circ}-\alpha-\beta.
Пусть K
— точка, симметричная точке E
относительно прямой QN
. Поскольку
\angle QMN+\angle QKN=\angle QMN+\angle QEN=180^{\circ},
четырёхугольник MQKN
вписан в окружность (см. задачу 49), а так как из симметрии QK=QE=MN
, то равные хорды QK
и MN
этой окружности стягивают равные дуги. Значит, равны и опирающиеся на них вписанные углы QNK
и MQN
. Также из симметрии \angle QNK=\angle QNE=\beta
, поэтому \beta=\gamma+\alpha
.
Сумма углов треугольника MQN
равна
\angle MQN+\angle QNM+\angle QMN=(\alpha+\gamma)+\gamma+(\alpha+\beta)=
=2(\alpha+\gamma)+\beta=2(\alpha+\gamma)+(\alpha+\gamma)=3(\alpha+\gamma)=180^{\circ},
откуда
\angle MQN=\alpha+\gamma=\beta=60^{\circ}.