12402. К биссектрисе CL
треугольника ABC
провели перпендикуляр в точке L
. Он пересёк сторону AC
в точке E
. Найдите CE
, если известно, что AC=35
, BC=15
.
Ответ. 21.
Решение. Отметим середину M
искомого отрезка CE
. Положим CE=2x
. Отрезок LM
— медиана прямоугольного треугольника CLE
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
LM=MC=ME=x
(см. задачу 1109). Поскольку треугольник CML
равнобедренный, а луч CL
— биссектриса угла MCB
, то
\angle CLM=\angle LCM=\angle LCB,
поэтому LM\parallel CB
. Значит, треугольник ALM
подобен треугольнику ABC
. Тогда \frac{LM}{BC}=\frac{AM}{AC}
, или \frac{x}{15}=\frac{35-x}{35}
, откуда x=\frac{21}{2}
. Следовательно,
CE=2x=2\cdot\frac{21}{2}=21.