12407. Дан треугольник ABC
, его описанная окружность с отмеченным центром O
и отмеченным диаметром AF
. Отмечена также точка M
— центроид (точка пересечения медиан) треугольника ABC
. Проведя не более трёх линий с помощью одной линейки, постройте ортоцентр H
треугольника ABC
.
Решение. Проведём луч AM
до пересечения со стороной BC
в точке D
— середине стороны BC
. Тогда H
— точка пересечения прямых FD
и OM
. Действительно, точка M
лежит на прямой Эйлера треугольника ABC
, т. е. на прямой OM
(см. задачу 5044); с другой стороны, точка H
симметрична точке F
относительно середины D
стороны BC
(см. задачу 6300), а значит, лежит на прямой FD
.
Примечание. См. статью Г.Филипповского «В поисках оптимальных построений», Квант, 2021, N9, с.25-28