12417. В равнобедренном треугольнике ABC
(AB=BC
) проведена биссектриса AM
. Найдите углы треугольника, если известно, что BM=AC
.
Ответ. 72^{\circ}
, 36^{\circ}
, 72^{\circ}
.
Решение. На боковой стороне AB
отложим отрезок AD=AC=BM
. Тогда
CM=BC-BM=AB-AD=BD.
Треугольники ADM
и ACM
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, DM=CM=BD
, и треугольник BDM
равнобедренный с основанием BM
.
Обозначим \angle ABC=\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника \angle ACB=\angle ADM=2\alpha
. Сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, т. е. \alpha+2\alpha+2\alpha=180^{\circ}
, откуда \alpha=36^{\circ}
. Следовательно, углы треугольника ABC
равны 72^{\circ}
, 36^{\circ}
, 72^{\circ}
.