12433. В треугольнике ABC
известно, что \angle A=\frac{180^{\circ}}{7}
и \angle B=\frac{360^{\circ}}{7}
. Докажите, что
\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{BC}.
Решение. Обозначим \angle A=\frac{180^{\circ}}{7}=\alpha
. Тогда
180^{\circ}=7\alpha,~\angle B=2\alpha,~\angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle B=7\alpha-\alpha-2\alpha=4\alpha.
От луча AB
в полуплоскость, не содержащую точку B
, отложим луч под углом \alpha
к лучу AC
. Пусть прямая BC
пересекает отложенный луч в точке D
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADC=\angle ACB-\angle CAD=4\alpha-\alpha=3\alpha,
а так как
\angle ACD=180^{\circ}-\angle ACB=7\alpha-4\alpha=3\alpha,
получаем, что \angle ADC=\angle ACD
. Следовательно, треугольник ACD
равнобедренный, AD=AC
.
Треугольник ABD
тоже равнобедренный, AD=BD
, так как \angle BAB=2\alpha=\angle ABD
. Отрезок AC
— его биссектриса, поэтому (см. задачу 1509)
\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BC},~\mbox{или}~\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BC}=\frac{BD-BC}{BC}=\frac{AC-BC}{BC}=\frac{AC}{BC}-1.
Разделив обе части равенства
\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{BC}-1
на AC
, получим
\frac{1}{AB}=\frac{1}{BC}-\frac{1}{AC}.
Следовательно,
\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{BC}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Можно применить теорему Птолемея.