12438. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, равна \sqrt{3}
, в разность острых углов равна 30^{\circ}
. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 2
, 2\sqrt{3}
, 4
.
Решение. Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника ABC
, опущенная на гипотенузу AB
, а \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle ABC=\alpha-90^{\circ}
. Проведём медиану CM
. Поскольку AM=CM=BM
(см. задачу 1109), треугольники AMC
и BMC
равнобедренные, поэтому
\angle ACM=\alpha,~\angle BCM=\alpha-30^{\circ}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AMC=2(\alpha-30^{\circ})=2\alpha-60^{\circ}.
С другой стороны, сумма углов треугольника AMC
равна 180^{\circ}
, поэтому
\angle AMC=180^{\circ}-2\alpha.
Из уравнения
2\alpha-60^{\circ}=180^{\circ}-2\alpha
находим, что \alpha=60^{\circ}
. Тогда \angle BAC=60^{\circ}
.
Из прямоугольного треугольника AHC
находим, что AC=2CH=2\sqrt{3}
. Тогда
BC=\frac{CH}{\sqrt{3}}=2,~AB=2BC=4.