12440. В треугольнике ABC
центр описанной окружности, ортоцентр (точка пересечения высот), а также вершины A
и B
лежат на одной окружности. Найдите все возможные значения угла ACB
.
Ответ. 60^{\circ}
или 120^{\circ}
, если треугольник непрямоугольный; интервал от 0^{\circ}
до 90^{\circ}
, если треугольник прямоугольный.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, H
— ортоцентр, \omega
— окружность на которой лежат точки A
, B
, O
и H
. Обозначим \angle ACB=\gamma
.
1) Пусть треугольник ACB
остроугольный (рис. 1). Тогда точки O
и C
лежат по одну сторону от прямой AB
, значит, центральный угол AOB
описанной окружности треугольника ABC
вдвое больше вписанного угла ACB
, т. е. \angle AOB=2\gamma
. В то же время,
\angle AHB=180^{\circ}-\angle ACB=180^{\circ}-\gamma,
причём точки C
и H
также лежат по одну сторону от прямой AB
. Значит, вписанные в окружность \omega
углы AOB
и AHB
опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, они равны, т. е. 2\gamma=180^{\circ}-\gamma
. Отсюда находим, что \gamma=60^{\circ}
.
2) Пусть угол ACB
тупой (рис. 2). Тогда точки C
и H
лежат по одну сторону от прямой AB
, а точки O
— по другую. Значит,
\angle AHB=180^{\circ}-\gamma,~\angle AOB=\smile ACB=360^{\circ}-2\gamma.
Сумма противоположных углов AHB
и AOB
вписанного в окружность \omega
четырёхугольника AOBH
равна 180^{\circ}
, т. е.
180^{\circ}-\gamma+360^{\circ}-2\gamma=180^{\circ},
откуда \gamma=120^{\circ}
3) Пусть угол BAC
тупой (рис. 3), а A_{1}
основание высоты треугольника ABC
, проведённой из вершины A
. Тогда
\angle AHB=\angle HCA_{1}=2\angle ACB=2\gamma,~\angle AOB=\angle ACB=\gamma,
а так как четырёхугольник AOBH
вписанный, то
\angle AHB+\angle AOB=\gamma+2\gamma=180^{\circ},
откуда \gamma=60^{\circ}
.
Аналогично для случая тупого угла ABC
.
Если \angle ACB=90^{\circ}
, то точка H
совпадает с вершиной A
, а точка O
— середина гипотенузы AB
, что невозможно, так как точки A
, B
и O
лежат на одной прямой.
Если же \angle BAC=90^{\circ}
или \angle ABC=90^{\circ}
, то точка H
совпадает с A
или B
соответственно, а окружность \omega
— это окружность, описанная около треугольника OBH
или OAH
. Следовательно, ACB
— любой острый угол.