12456. На боковой стороне трапеции нашлась точка M
, для которой BM=BC
. Пусть прямые BM
и AC
пересекаются в точке K
, а прямые DK
и BC
— в точке L
. Докажите, что углы BML
и DAM
равны.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку A
параллельно CD
, пересекает прямую BM
в точке E
. Углы при основании CM
равнобедренного треугольника CBM
равны, поэтому
\angle ADM=180^{\circ}-\angle BCM=180^{\circ}-\angle BMC=\angle DME.
Значит, ADME
— равнобокая трапеция, поэтому \angle DAM=\angle DEM
.
Треугольник AKE
подобен треугольнику CKM
, а треугольник AKD
— треугольнику CKL
, поэтому
\frac{EK}{KM}=\frac{AK}{KC}=\frac{DK}{KL}.
Значит, DE\parallel ML
. Следовательно,
\angle BML=\angle DEM=\angle DAM.
Что и требовалось доказать.