12481. В выпуклом четырёхугольнике
ABCD
известно, что
AD=BC
и
\angle ADB+\angle ACB=\angle CAB+\angle DBA=30^{\circ}
. Докажите, что из отрезков
DB
,
CA
и
DC
можно составить прямоугольный треугольник.
Решение. Пусть
O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника
ABCD
. Тогда
\angle ADC+\angle DCB=\angle CDO+\angle DCO.

Значит,
\angle ADC+\angle DCB=

=(\angle ADB+\angle BDC)+(\angle ACD+\angle ACB)=

=(\angle ADB+\angle ACB)+(\angle BDC+\angle ACD)=

=30^{\circ}+(\angle BDC+\angle ACD)=30^{\circ}+(\angle OAB+\angle OBA)=

=30^{\circ}+(\angle CAB+\angle DBA)=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}.

Тогда
\angle DAB+\angle ABC=360^{\circ}-(\angle ADC+\angle DCB)=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}.

Построим вне четырёхугольника
ABCD
точку
X
, для которой треугольник
ABX
равносторонний. Заметим, что
\angle DAX=360^{\circ}-\angle XAB-\angle DAB=300^{\circ}-\angle DAB=\angle ABC,

\angle XBC=360^{\circ}-\angle XBA-\angle ABC=300^{\circ}-\angle ABC=\angle DAB.

Тогда треугольники
XAD
и
ABC
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
AC=DX
. Аналогично, равны треугольники
DAB
и
XBC
, поэтому
BD=XC
. Кроме того,
\angle DXC=\angle DXA+\angle AXB+\angle BXC=

=\angle CAB+60^{\circ}+\angle DBA=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}.

Значит, треугольник
XDC
искомый.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2019, заключительный этап, задача 4, 8 класс