12506. Основания прямоугольной трапеции ABCD
равны 6 и 3. Окружность, построенная на перпендикулярной основаниям боковой стороне CD
как на диаметре, касается боковой стороны AB
в точке P
, а диагонали трапеции пересекаются в точке O
. Найдите OP
.
Ответ. 2.
Решение. Из точки A
проведены касательные AP
и AD
к окружности с диаметром CD
, поэтому AP=AD=6
. Аналогично, BP=BC=3
. Треугольники BOC
и DOA
подобны, поэтому
\frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=\frac{BP}{AP}.
Значит, OP\parallel AD
. Тогда треугольник AOP
подобен треугольнику ACB
, причём коэффициент подобия равен \frac{AP}{AB}=\frac{2}{3}
. Следовательно,
OP=\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}\cdot3=2.