12518. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом B
и углом A
, равным 30^{\circ}
, провели высоту BD
. Затем в треугольнике BDC
провели медиану DE
, а в треугольнике DEC
— биссектрису EF
. Найдите отношение FC:AC
.
Ответ. 1:8
.
Решение. Обозначим FC=a
. Отрезок DE
— медиана прямоугольного треугольнике BDC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому ED=EC
(см. задачу 1109), а биссектриса EF
равнобедренного треугольника CED
является его высотой и медианой. При этом
\angle DCE=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ},
поэтому равнобедренный треугольник CED
— равносторонний. Тогда
BC=2EC=2CD=2\cdot2FC=4a.
Значит, AC=2BC=8a
. Следовательно, FC:AC=1:8
.