12519. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
выбраны соответственно точки M
и P
, для которых PM\parallel BC
. Из точки M
восставлен перпендикуляр к прямой AB
, а из точки P
восставлен перпендикуляр к прямой AC
. Эти перпендикуляры пересекаются в точке T
. Докажите, что точки A
, T
и центр O
описанной окружности треугольника ABC
лежат на одной прямой.
Решение. Утверждение задачи равносильно тому, что \angle CAO=\angle CAT
. Обозначим \angle ABC=\beta
.
Рассмотрим случай, когда угол \beta\leqslant90^{\circ}
. Центральный угол AOC
описанной окружности треугольника ABC
вдвое больше соответствующего ему вписанного угла ABC
, т. е. \angle AOC=2\beta
, а так как треугольник AOC
равнобедренный, то \angle CAO=90^{\circ}-\beta
.
Из точек M
и P
отрезок AT
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AT
. Вписанные в эту окружность углы PAT
и PMT
опираются на одну и ту же дугу, поэтому, учитывая параллельность MP
и BC
, получим
\angle CAT=\angle PAT=\angle PMT=\angle BMP-90^{\circ}=
=(180^{\circ}-\beta)-90^{\circ}=90^{\circ}-\beta=\angle CAO.
Что и требовалось доказать.
В случае, если \beta\gt90^{\circ}
, рассуждения проводятся по той же схеме со следующими поправками:
\angle CAO=\beta-90^{\circ},~\angle CAT=\angle PAT=\angle PMT=\beta-90^{\circ}.