1252. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
длина отрезка, соединяющего середины сторон AB
и CD
равна 1. Прямые BC
и AD
перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC
и BD
.
Ответ. 1.
Указание. Докажите, что середины сторон AB
и CD
и середины диагоналей AC
и BD
являются вершинами прямоугольника.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон соответственно AB
и CD
четырёхугольника ABCD
, а P
и Q
— середины его диагоналей соответственно AC
и BD
. Тогда MP
— средняя линия треугольника ABC
, а QN
— средняя линия треугольника DBC
. Поэтому
MP=\frac{1}{2}BC=QN,~MP\parallel BC\parallel QN.
Значит, четырёхугольник MPNQ
— параллелограмм. Его соседние стороны MP
и MQ
соответственно параллельны прямым BC
и AD
, поэтому MP\perp MQ
. Следовательно, четырёхугольник MPNQ
— прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, поэтому
PQ=MN=1.
