12529. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle CBD=\angle CAB
и \angle ACD=\angle BDA
. Докажите, что тогда \angle ABC=\angle ADC
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника. В треугольниках BOC
и ABC
по условию \angle CBO=\angle BAC
, а \angle BCO=\angle BCA
как общий угол. Следовательно, третьи углы этих треугольников тоже равны, т. е. \angle BOC=\angle ABC
. Аналогично, \angle AOD=\angle ADC
, а так как \angle BOC=\angle AOD
, то
\angle ABC=\angle BOC=\angle AOD=\angle ADC.
Что и требовалось доказать.