12532. Биссектриса разбивает треугольник на два треугольника, периметры которых равны. Докажите, что исходный треугольник равнобедренный.
Решение. Пусть биссектриса AP
треугольника ABC
разбивает его на два треугольника ABP
и ACP
, периметры которых равны. Обозначим \frac{AB}{AC}=k
. В силу свойства биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}=k
, причём сторона AP
у треугольников ABP
и ABP
общая. Тогда AB+BP=AP+CP
. Значит,
1=\frac{AB+BP}{AP+CP}=\frac{kAC+kPC}{AP+PC}=k,
поэтому AB=kBC=BC
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный. Что и требовалось доказать.