12540. На стороне AB
квадрата ABCD
выбрана точка P
, причём AP:PB=1:2
. Через эту точку и центр квадрата проведена прямая m
. Докажите, что для любой точки K
, расположенной внутри квадрата на прямой m
, расстояния от K
до сторон AB
, AD
, BC
и CD
, взятые в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию
Решение. Считаем, что центр O
квадрата лежит между точками K
и P
. Проведём через точку O
прямую a
, параллельную стороне BC
, а через точку K
— прямую b
, параллельную стороне AB
. Точку пересечения прямых AB
и a
обозначим M
, а точку пересечения прямых a
и b
— N
. Если считать, что сторона квадрата равна 1, то
OM=\frac{1}{2},~PM=\frac{1}{6},
а расстояния от точки N
до сторон BC
и AD
равны \frac{1}{2}
.
Обозначим KN=x
. Из подобия треугольников OMP
и ONK
следует, что ON=3x
. Тогда расстояния от точки K
до сторон AB
, AD
, BC
и CD
равны соответственно
3x+\frac{1}{2},~x+\frac{1}{2},~\frac{1}{2}-x,~\frac{1}{2}-3x.
Следовательно, эти расстояния образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью 2x
. Что и требовалось доказать.