12570. Стороны KL
, MN
и PQ
шестиугольника KLMNPQ
лежат на сторонах соответственно AB=c
, BC=a
и CA=b
треугольника ABC
(K
между A
и L
). Все стороны шестиугольника равны, а противоположные стороны попарно параллельны. Найдите стороны шестиугольника.
Ответ. \frac{abc}{ab+bc+ac}
.
Решение. Обозначим через x
стороны шестиугольника. Треугольник LBM
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{LM}{AC}=\frac{x}{b}
, поэтому
BM=BC\cdot\frac{x}{b}=\frac{ax}{b}.
Аналогично, CN=\frac{ax}{c}
. Значит,
a=BC=BM+MN+CN=\frac{ax}{b}+x+\frac{ax}{c}=
=x\left(\frac{a}{b}+1+\frac{a}{c}\right)=x\cdot\frac{ac+bc+ab}{bc},
откуда x=\frac{abc}{ab+bc+ac}
.