12589. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом A
проведена высота AH
. Окружность, проходящая через точки A
и H
, пересекает катеты AB
и AC
в точках X
и Y
соответственно. Найдите AC
, если известно, что AX=5
, AY=6
, AB=9
.
Ответ. 13,5.
Решение. Первый способ. Пусть K
— вторая точка пересечения данной окружности с гипотенузой BC
. Поскольку \angle AHK=90^{\circ}
, отрезок AK
— диаметр этой окружности. Тогда
\angle AXK=\angle AYK=90^{\circ}
Значит, AXKY
— прямоугольник, и XK=AY=6
.
Из условия следует, что
XB=AB-AX=9-5=4.
Прямоугольные треугольники XBK
и ABC
подобны, поэтому
\frac{AC}{AB}=\frac{XK}{BX}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
Следовательно,
AC=\frac{2}{3}AB=\frac{3}{2}\cdot9=\frac{27}{2}=13{,}5.
Второй способ. Поскольку \angle XAY=90^{\circ}
, четырёхугольник AXHY
вписан в окружность с диаметром XY
, поэтому \angle XHY=90^{\circ}
. Заметим, что
\angle CHY=180^{\circ}-\angle XHY-\angle BHX=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}-\angle BHX=\angle AHX.
Это означает, что в подобных прямоугольных треугольниках AHC
и BHA
точки Y
и X
соответствуют друг другу, а значит, делят соответствующие стороны в одном и том же отношении (это также можно получить из подобия треугольников CHY
и AHX
). Следовательно,
\frac{CA}{AY}=\frac{AB}{BX}=\frac{9}{4},
откуда находим, что
CA=\frac{9}{4}AY=\frac{9}{4}\cdot6=\frac{27}{2}=13{,}5.