12620. Точка K
— центр окружности \omega
, вписанной в треугольник ABC
(причём AB\lt BC
). Прямая BK
пересекает сторону AC
в точке L
. Через точку K
проведена прямая l
, касающаяся окружности, описанной около треугольника ACK
. Прямая l
пересекает сторону AB
и BC
в точках M
и N
соответственно, причём MN=10
.
а) Найдите произведение длин отрезков AM
и CN
.
б) Пусть дополнительно известно, что радиус окружности \omega
равен 4, а KL=5
. Найдите AM
.
Ответ. а) 25; б) 1.
Решение. а) Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACM=\gamma
. Центр K
вписанной окружности треугольника ABC
— точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому
\angle MAK=\angle CAK=\frac{\alpha}{2},~\angle NCK=\angle ACK=\frac{\gamma}{2}.
Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle NKC=\angle CAK=\frac{\alpha}{2},~\angle MAK=\angle ACK=\frac{\gamma}{2}.
Значит, треугольники MAK
и NKC
подобны по двум углам. Тогда
\frac{AM}{KN}=\frac{KM}{CN},~\mbox{или}~AM\cdot CN=KM\cdot KN.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BMK=\frac{\alpha}{2}+\frac{\gamma}{2}=\angle BNK,
поэтому треугольник MBN
равнобедренный с основанием MN
. Тогда его биссектриса BK
является медианой, поэтому KM=KN
. Следовательно,
AM\cdot CN=KM\cdot KN=\frac{MN}{2}\cdot\frac{MN}{2}=\frac{MN^{2}}{4}=\frac{10^{2}}{4}=25.
б) Пусть окружность \omega
касается стороны AB
в точке P
, а стороны AC
— в точке Q
. Прямоугольные треугольники KPM
и KQL
равны по катету (KP=KQ=4
) и гипотенузе (KM=KL=5
).
Докажем, что если AB\lt BC
, то точка Q
лежит между точками A
и L
. Обозначим BC=a
, AC=b
и AB=c
. Тогда (см. задачу 219) AQ=\frac{b+c-a}{2}
, а из свойства биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) следует, что AL=\frac{bc}{a+c}
. Следовательно, если c\lt a
, то
AQ\lt AL~\Leftrightarrow~\frac{b+c-a}{2}\lt\frac{bc}{a+c}~\Leftrightarrow~(b+c-a)(a+c)\lt2bc~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~ab+ac-a^{2}+bc+c^{2}-ac\lt2bc~\Leftrightarrow~ab-bc\lt a^{2}-c^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~b(a-c)\lt(a-c)(a+c)~\Leftrightarrow~b\lt a+c.
Последнее неравенство верно как неравенство треугольника.
Обозначим
AM=x,~\angle LKQ=\angle MKP=\angle MBK=\varphi.
Тогда
\sin\varphi=\frac{QL}{KL}=\frac{3}{5},~BN=BM=\frac{KM}{\sin\varphi}=\frac{5}{\frac{3}{5}}=\frac{25}{3},
а так как точка Q
лежит между A
и L
, то AL=AQ+QL
.
Применив теорему синусов к треугольнику ABL
, получим
\frac{AB}{\sin\angle ALB}=\frac{AL}{\sin\angle ABL},~\mbox{или}~\frac{AM+BM}{\cos\varphi}=\frac{AQ+QL}{\sin\varphi},~
\frac{AM+BM}{\cos\varphi}=\frac{AP+QL}{\sin\varphi},~\frac{x+\frac{25}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{(x+3)+3}{\frac{3}{5}},~3x+25=4x+24,
откуда AM=x=1
.