12621. Остроугольный треугольник ABC
вписан в окружность \omega
с центром O
. Окружность, проходящая через точки A
, O
и C
, пересекает отрезок BC
в точке P
. Касательные к \omega
, проведённые через точки A
и C
, пересекаются в точке T
. Отрезок TP
пересекает сторону AC
в точке K
. Известно, что площади треугольников APK
и CPK
равны 6 и 4 соответственно.
а) Найдите площадь треугольника ABC
.
б) Пусть дополнительно известно, что \angle ABC=\arctg\frac{7}{5}
. Найдите AC
.
Ответ. а) 25; б) \frac{50}{\sqrt{42}}
.
Решение. а) Из точек A
и C
отрезок OT
виден под прямым углом (OA
и OC
— радиусы окружности \omega
, проведённые в точки касания), значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OT
, а так как это окружность проходит через точки A
, O
и C
, то на ней лежит и точка P
.
Обозначим \angle ABC=\beta
. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что
\angle CAT=\angle ABC=\beta.
Вписанные в окружность с диаметром OT
углы CPT
и CAT
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CPK=\angle CPT=\angle CAT=\beta=\angle ABC.
Значит, прямые PK
и AB
параллельны, а треугольник ABC
подобен треугольнику KPC
. Поскольку
\frac{CK}{AK}=\frac{S_{\triangle KPC}}{S_{\triangle KPA}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
(см. задачу 3000), коэффициент подобия равен \frac{AC}{KC}=\frac{5}{2}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\left(\frac{5}{2}\right)^{2}S_{\triangle KPC}=\frac{25}{4}\cdot4=25.
б) Поскольку TA=TC
, треугольник ATC
равнобедренный, поэтому T
— середина дуги ATP
окружности с диаметром OT
. Тогда луч PT
— биссектриса угла APC
, а отрезок PK
— биссектриса треугольника APC
. Значит, (см. задачу 1509)
\frac{PC}{PA}=\frac{CK}{KA}=\frac{2}{3}.
Положим PC=2t
, PA=3t
.
По теореме о вписанных углах
\angle APC=\angle AOC=2\angle ABC=2\beta
(AOC
— центральный угол окружности \omega
, соответствующий вписанному углу ABC
). Поскольку
\sin\angle AOC=\sin2\beta=\frac{2\tg\beta}{1+\tg^{2}\beta}=\frac{2\cdot\frac{7}{5}}{1+\frac{49}{25}}=\frac{35}{37},
то
10=S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}PA\cdot PC\sin2\beta=\frac{1}{2}\cdot3t\cdot2t\cdot\frac{35}{37}=\frac{105t^{2}}{37},
откуда t^{2}=\frac{74}{21}
. Кроме того
\cos2\beta=\frac{1-\tg^{2}\beta}{1+\tg^{2}\beta}=\frac{1-\frac{49}{25}}{1+\frac{49}{25}}=-\frac{12}{37}.
Тогда по теореме косинусов
AC^{2}=PA^{2}+PC^{2}-2PA\cdot PC=9t^{2}+4t^{2}+2\cdot3t\cdot2t\cdot\frac{12}{37}=
=\frac{625t^{2}}{37}=\frac{625\cdot\frac{74}{21}}{37}=\frac{625\cdot2}{21}.
Следовательно, AC=\frac{25\sqrt{2}}{\sqrt{21}}
.