12629. Дан треугольник ABC
. На стороне AC
выбирают точку Q
таким образом, чтобы длина отрезка MK
, где M
и K
— основания перпендикуляров, опущенных из точки Q
на стороны AB
и AC
соответственно, оказалась минимальной. При этом QM=1
, QK=\sqrt{2}
, \angle B=45^{\circ}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{15}{6}
.
Решение. Обозначим QM=d_{1}
, QK=d_{2}
, \angle B=\beta
. Из точек M
и K
отрезок BQ
виден под прямым углом, поэтому четырёхугольник MBKQ
вписан в окружность с диаметром BQ
. По теореме синусов MK=BQ\sin\beta
. Поскольку величина угла B
фиксирована, отрезок MK
тем меньше, чем меньше BQ
. Значит, Q
— это основание перпендикуляра, опущенного из точки B
на AC
, т. е. BQ
— высота треугольника ABC
, причём точка Q
лежит на стороне AC
, а не на её продолжении, так как A
и C
— острые углы прямоугольных треугольников AMQ
и CKQ
.
Положим BQ=h
, \angle MAQ=\alpha
. Найдём площадь треугольника ABQ
, считая пока h
известной величиной. Отрезок QM
— высота прямоугольного треугольника AQB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
\angle BQM=\alpha,~BM=\sqrt{h^{2}-d_{1}^{2}},~\ctg\alpha=\frac{MQ}{BM}=\frac{d_{1}}{\sqrt{h^{2}-d_{1}^{2}}},
AQ=BQ\ctg\alpha=\frac{hd_{1}}{\sqrt{h^{2}-d_{1}^{2}}}.
Значит,
S_{\triangle ABQ}=\frac{1}{2}AQ\cdot BQ=\frac{1}{2}\cdot\frac{hd_{1}}{\sqrt{h^{2}-d_{1}^{2}}}\cdot h=\frac{h^{2}d_{1}}{2\sqrt{h^{2}-d_{1}^{2}}}.
Аналогично, S_{\triangle CBQ}=\frac{h^{2}d_{2}}{2\sqrt{h^{2}-d_{2}^{2}}}
, поэтому
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABQ}+S_{\triangle CBQ}=\frac{1}{2}h\left(\frac{d_{1}}{\sqrt{h^{2}-d_{1}^{2}}}\cdot h+\frac{d_{2}}{\sqrt{h^{2}-d_{2}^{2}}}\right).
По теореме косинусов
MK=\sqrt{QM^{2}+QK^{2}-2QM\cdot QK\cos(180^{\circ}-\beta)}=
=\sqrt{1+2+2\cdot1\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{5},
поэтому по теореме синусов
h=BQ=\frac{MK}{\sin\beta}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{10}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}h^{2}\left(\frac{d_{1}}{\sqrt{h^{2}-d_{1}^{2}}}+\frac{d_{2}}{\sqrt{h^{2}-d_{2}^{2}}}\right)=
=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{10-1}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10-2}}\right)=5\cdot\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{25}{6}.