12632. На сторонах треугольника ABC
вне его построены правильные треугольники AMB
, BNC
, CKA
. Через середину отрезка MN
проведена прямая, перпендикулярная стороне AC
; аналогично, через середины NK
и KM
проведены прямые, перпендикулярные AB
и BC
соответственно. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
Решение. Первый способ. При повороте на 60^{\circ}
вокруг точки B
, переводящем точку M
в A
, точка C
переходит в N
, поэтому отрезок MC
переходит в отрезок AN
. Следовательно, MC=AN
.
Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Пусть O
— середина отрезка MN
, а E
, F
и G
— середины сторон AB
, BC
и AC
. Рассмотрим четырёхугольник AMBN
. Отрезок OE
соединяет середины O
и E
его диагоналей MN
и AB
, поэтому (см. задачу 10871)
AM^{2}+MB^{2}+BN^{2}+AN^{2}=MN^{2}+AB^{2}+4OE^{2},~\mbox{или}~
c^{2}+c^{2}+a^{2}+AN^{2}=MN^{2}+c^{2}+4OE^{2},~\mbox{или}~a^{2}+c^{2}+AN^{2}=MN^{2}+4OE^{2}.
Из четырёхугольника CMBN
аналогично получим равенство
a^{2}+c^{2}+MC^{2}=MN^{2}+4OF^{2}.
Учитывая доказанное ранее равенство MC=AN
, получим, что OE=OF
. Значит, треугольник OEF
равнобедренный, поэтому перпендикуляр, проведённый из его вершины O
, а значит, и перпендикуляр к AC
, является серединным перпендикуляром к стороне EF
треугольника EFG
(так как EF\parallel AC
по теореме о средней линии треугольника). Следовательно, этот перпендикуляр проходит через центр окружности, описанной около треугольника EFG
.
Аналогично, прямые, проходящие через середины KM
и KN
перпендикулярно сторонам соответственно BC
и AB
, тоже проходят через центр описанной окружности треугольника EFG
.
Второй способ. Пусть l_{a}
— прямая, проходящая через середину O
отрезка MK
перпендикулярно стороне BC
треугольника ABC
, Q
— точка пересечения медиан треугольника KMN
. При гомотетии с центром Q
и коэффициентом -2
точка O
переходит в вершину N
, а прямая l_{a}
— в прямую m_{a}
, параллельную l_{a}
и проходящую через точку N
, т. е. в серединный перпендикуляр к стороне BC
треугольника ABC
(треугольник BNC
равносторонний, поэтому прямая, проходящая через его вершину N
перпендикулярно стороне BC
— серединный перпендикуляр к этой стороне).
Аналогично, прямые l_{b}
и l_{c}
, проходящие через середины NK
, MN
и перпендикулярные AB
и BC
соответственно, переходят в серединные перпендикуляры к сторонам AB
и AC
. Поскольку серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (центре описанной окружности этого треугольника), то гомотетичные им прямые l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
тоже пересекаются в одной точке.