12640. Пусть M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
; различные точки D
и E
лежат на прямой BC
, причём DC=CE=AB
; точки P
и Q
лежат на отрезках BD
и BE
соответственно, причём 2BP=PD
и 2BQ=QE
. Найдите угол PMQ
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABCA'
. Тогда точка M
лежит на его диагонали AA'
, и BM=\frac{1}{3}BA'
. При гомотетии с центром B
и коэффициентом \frac{1}{3}
точка A'
переходит в M
, а так как BP=\frac{1}{3}BD
и BQ=\frac{1}{3}BE
, то точки D
и E
переходят в P
и Q
соответственно. Значит, треугольник DA'E
переходит в треугольник PMQ
.
Поскольку
CA'=AB=CD=CE,
медиана A'C
треугольника DA'E
равна половине стороны DE
, значит, \angle DA'E=90^{\circ}
(см. задачу 1109). Следовательно, гомотетичный ему угол PMQ
тоже равен 90^{\circ}
.