12642. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20. Чему равна его площадь?
Ответ. 150.
Решение. Первый способ. Обозначим через a
, b
и c
стороны треугольника, через h_{a}=12
, h_{b}=15
и h_{c}=20
— соответствующие им высоты, p
— полупериметр треугольника, S
— его площадь. Тогда
2S=a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=c\cdot h_{c},~\mbox{или}~2S=12a=15b=20c,
откуда
S=6a,~b=\frac{4}{5}a,~c=\frac{3}{5}a,~p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{6}{5}a.
По формуле Герона
6a=S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\frac{6}{5}a\cdot\frac{1}{5}a\cdot\frac{2}{5}a\cdot\frac{3}{5}a}=\frac{6}{25}a^{2}.
Поскольку a\ne0
, из равенства 6a=\frac{6}{25}a^{2}
находим, что a=25
. Следовательно,
S=6a=6\cdot25=150.
Второй способ. Обозначим через a
, b
и c
стороны треугольника, через h_{a}=12
, h_{b}=15
и h_{c}=20
— соответствующие им высоты, S
— площадь треугольника. Тогда
2S=a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=c\cdot h_{c},~\mbox{или}~2S=12a=15b=20c,
откуда
b=\frac{4}{5}a,~c=\frac{3}{5}a,~
Треугольник со сторонами a
, \frac{4}{5}a
и \frac{3}{5}a
прямоугольный, так как
\left(\frac{4}{5}a\right)^{2}+\left(\frac{3}{5}a\right)^{2}=\frac{16}{25}a^{2}+\frac{9}{25}a^{2}=a^{2}.
Значит, две его высоты \frac{4}{5}a
и \frac{3}{5}
— катеты, а третья (наименьшая) высота проведена к гипотенузе (т. е. к наибольшей стороне) равна 12. Тогда
2S=12a=\frac{4}{5}a\cdot\frac{3}{5}a=\frac{12}{25}a^{2},
откуда a=25
. Следовательно,
S=\frac{1}{2}\cdot12a=\frac{1}{2}\cdot12\cdot25=150.