12643. Пусть B_{1}
и C_{1}
— середины сторон соответственно AB
и AC
треугольника ABC
; P
— отличная от A
точка пересечения описанных окружностей треугольников ABC_{1}
и AB_{1}C
; P_{1}
— точка пересечения луча AP
с описанной окружностью треугольника AB_{1}C_{1}
. Докажите, что 2AP=3AP_{1}
.
Решение. Четырёхугольники ABPC_{1}
и ACPB_{1}
вписанные, поэтому
\angle PBB_{1}=\angle PBA=180^{\circ}-\angle PC_{1}A=\angle PC_{1}C,
\angle PCC_{1}=\angle PCA=180^{\circ}-\angle PB_{1}A=\angle PB_{1}B.
Значит, треугольники PBB_{1}
и PC_{1}C
подобны по двум углам.
Пусть B_{2}
и C_{2}
— середины отрезков BB_{1}
и CC_{1}
соответственно. Отрезки PB_{2}
и PC_{2}
— соответственные медианы подобных треугольников PBB_{1}
и PC_{1}C
, поэтому \angle B_{1}PB_{2}=\angle CPC_{2}
. Значит,
\angle B_{2}PC_{2}=\angle B_{1}PB_{2}+\angle B_{1}PC_{2}=\angle CPC_{2}+\angle B_{1}PC_{2}=
=\angle CPB_{1}=180^{\circ}-\angle BAC.
Следовательно, точки A
, C_{2}
, P
и B_{2}
лежат на одной окружности.
Тогда, учитывая, что B_{1}C_{1}\parallel B_{2}C_{2}
, получим
\angle APC_{2}=\angle AB_{2}C_{2}=\angle AB_{1}C_{1}=\angle AP_{1}C_{1}.
Значит, C_{1}P_{1}\parallel C_{2}P
. Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{AP_{1}}{P_{1}P}=\frac{AC_{1}}{C_{1}C_{2}}=2,
откуда 2AP=3AP_{1}
. Что и требовалось доказать.