12647. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса 1, причём его диагональ AC
— диаметр этой окружности, а диагональ BD
равна стороне AB
. Диагонали пересекаются в точке P
. Найдите сторону CD
, если PC=\frac{2}{5}
.
Ответ. \frac{2}{3}
.
Решение. Первый способ. Точка D
лежит на окружности с диаметром AC
, поэтому \angle ADC=90^{\circ}
.
Пусть O
— центр окружности. Точки B
и O
равноудалены от концов отрезка AD
, значит, прямая BO
— серединный перпендикуляр к хорде AD
. Прямые CD
и BO
параллельны, так как обе они перпендикулярны AD
, значит, треугольники PCD
и POB
подобны, причём коэффициент подобия равен
\frac{CP}{OP}=\frac{CP}{OC-CP}=\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{2}{5}}=\frac{2}{3}.
Следовательно,
CD=\frac{2}{3}OB=\frac{2}{3}\cdot1=\frac{2}{3}.
Второй способ. Точки B
и D
лежат на окружности с диаметром AC
, поэтому
\angle ADC=\angle ABC=90^{\circ}.
Пусть \angle ABD=\angle ACD=2\alpha
. Тогда
\angle CAD=90^{\circ}-2\alpha,~\angle ADB=90^{\circ}-\alpha,
\angle CDB=90^{\circ}-\angle ADB=\alpha.
Применив теорему синусов к треугольникам DCP
и DAP
, получим
\frac{DP}{\sin2\alpha}=\frac{CP}{\sin\alpha},~\frac{DP}{\sin(90^{\circ}-2\alpha)}=\frac{AP}{\sin(90^{\circ}-\alpha)}.
Разделив второе равенство на первое и применив формулы приведения, получим
\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{AP\sin\alpha}{CP\cos\alpha}=\frac{\frac{8}{5}\sin\alpha}{\frac{2}{5}\cos\alpha}=4\tg\alpha,
или
\tg2\alpha=4\tg\alpha,~\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}=4\tg\alpha,
а так как \tg\alpha\ne0
, из последнего равенства находим, что \tg^{2}\alpha=\frac{1}{2}
. Тогда
\cos2\alpha=\frac{1-\tg^{2}\alpha}{1+\tg^{2}\alpha}=\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}.
Следовательно,
CD=AC\cos2\alpha=2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.