12659. Пусть a
, b
и c
— длины сторон треугольника, а R
— радиус его описанной окружности. Докажите, что
R\geqslant\frac{a^{2}+b^{2}}{2\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}.
При каком условии достигается равенство?
Ответ. Равенство достигается, если либо a=b
, либо угол, противоположный стороне c
, прямой.
Решение. Первый способ. Докажем сначала неравенство Коши—Буняковского: для любых четырёх чисел x_{1}
, x_{2}
, y_{1}
и y_{2}
верно неравенство
(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})\geqslant(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда существует такое число \lambda
, что x_{1}=\lambda x_{2}
и y_{1}=\lambda y_{2}
.
Доказательство. Пусть \overrightarrow{m}=(x_{1};y_{1})
, \overrightarrow{n}=(x_{2};y_{2})
— ненулевые векторы, а угол между ними равен \varphi
. Тогда
1\geqslant|\cos\varphi|=\left|\frac{\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|\cdot|\overrightarrow{n}|}\right|=\left|\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right|.
Следовательно,
(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})\geqslant(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})^{2}.
При этом равенство достигается в случае, когда векторы \overrightarrow{m}
и \overrightarrow{n}
коллинеарны, т. е. когда существует такое число t
, что x_{1}=\lambda x_{2}
и y_{1}=\lambda y_{2}
.
Перейдём к нашей задаче. Пусть \alpha
, \beta
, \gamma
— углы, противоположные сторонам, равным a
, b
, c
соответственно. По теореме синусов
a=2R\sin\alpha,~b=2R\sin\beta,~c=2R\sin\gamma.
Следовательно,
R\geqslant\frac{a^{2}+b^{2}}{2\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~R\geqslant\frac{4R^{2}(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta)}{2\sqrt{8R^{2}(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta)-4R^{2}\sin^{2}\gamma}}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~1\geqslant\frac{\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta}{2\sqrt{2\sin^{2}\alpha+2\sin^{2}\beta-\sin^{2}\gamma}}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~2(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta)-\sin^{2}\gamma\geqslant(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta)^{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta)(2-\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta)\geqslant\sin^{2}\gamma~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta)(\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta)\geqslant\sin^{2}\gamma~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta)(\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta)\geqslant\sin^{2}(180^{\circ}-\alpha-\beta)~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta)(\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta)\geqslant\sin^{2}(\alpha+\beta)~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~(\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta)(\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta)\geqslant(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha)^{2}.
Последнее неравенство есть неравенство Коши—Буняковского для
x_{1}=\sin\alpha,~y_{1}=\sin\beta,~x_{2}=\cos\beta,~y_{2}=\cos\alpha.
Равенство достигается, когда \sin\alpha=\lambda\sin\beta
и \cos\beta=\lambda\cos\alpha
, для некоторого числа \lambda
. Тогда
\frac{\sin\alpha}{\cos\beta}=\frac{\sin\beta}{\cos\alpha}~\Leftrightarrow~2\sin\alpha\cos\alpha=2\sin\beta\cos\beta~\Leftrightarrow~\sin2\alpha=\sin2\beta.
Последнее равенство означает, что либо 2\alpha=2\beta
, либо 2\alpha+2\beta=180^{\circ}
, т. е. либо \alpha=\beta
, а тогда a=b
, либо \alpha+\beta=90^{\circ}
, а тогда
\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Второй способ. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, r
— её радиус, CM=m_{c}
— медиана треугольника. Тогда (см. задачу 4014)
4m_{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}.
Значит,
R\geqslant\frac{a^{2}+b^{2}}{2\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}~\Leftrightarrow~4Rm_{c}\geqslant a^{2}+b^{2}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~8Rm_{c}\geqslant4m_{c}^{2}+c^{2}~\Leftrightarrow~2Rm_{c}\geqslant m_{c}^{2}+\frac{c^{2}}{4}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~m_{c}^{2}-2Rm_{c}\leqslant-\frac{c^{2}}{4}~\Leftrightarrow~m_{c}^{2}-2Rm_{c}+R^{2}\leqslant R^{2}-\frac{c^{2}}{4}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~(m_{c}-R)^{2}\leqslant R^{2}-\frac{c^{2}}{4}~\Leftrightarrow~|m_{c}-R|\leqslant\sqrt{R^{2}-\left(\frac{c}{2}\right)^{2}}.
Заметим, что
m_{c}=CM,~OM=\sqrt{OB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{R^{2}-\left(\frac{c}{2}\right)^{2}},~R=OC.
Значит, последнее неравенство можно записать в виде
|CM-OC|\leqslant OM,
что следует из неравенства треугольника для треугольника COM
.
Доказанное неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда точки C
, O
и M
лежат на одной прямой, т. е. либо когда треугольник ABC
равнобедренный с основанием AB
, либо когда точки O
и M
совпадают. В последнем случае треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
(см. задачу 1188).