12660. В треугольнике ABC
с прямым углом при вершине A
точка D
лежит на стороне BC
, причём \angle BDA=2\angle BAD
. Докажите, что
\frac{1}{AD}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{BD}+\frac{1}{CD}\right).
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
(т. е. середина гипотенузы BC
), а луч AD
пересекает окружность в точке E
. Тогда BOE
— центральный угол, соответствующий вписанному углу BAE
, значит,
\angle BOE=2\angle BAE=\angle ADB=\angle CDE,
поэтому DE=OE
. Треугольники ADC
и BDE
подобны, поэтому
\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{DE},~\frac{AD}{CD}=\frac{BD}{DE}.
Значит,
\frac{AD}{BD}+\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{DE}+\frac{BD}{DE}=\frac{CD+BD}{DE}=\frac{BC}{DE}=\frac{BC}{OE}=2.
Отсюда получаем, что
\frac{1}{BD}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{AD}.
Следовательно,
\frac{1}{AD}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{BD}+\frac{1}{CD}\right).
Что и требовалось доказать.