12678. Точка M
лежит на дуге AB
описанной окружности треугольника ABC
, причём точки M
и C
расположены по разные стороны от прямой AB
. Проекции X
и Y
точки M
на прямые AB
и BC
соответственно лежат на сторонах AB
и BC
, а не на их продолжениях. Точки K
и N
— середины отрезков AC
и XY
соответственно. Докажите, что \angle MNK=90^{\circ}
.
Решение. Пусть Z
— проекция точки M
на прямую AC
. Тогда точки X
, Y
и Z
лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника ABC
, соответствующей точке M
(см. задачу 83).
Из точек Z
и Y
отрезок CM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CM
. Вписанные в эту окружность углы MYZ
и MCZ
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MYX=\angle MYZ=\angle MCZ.
Аналогично, точки X
и Y
лежат на окружности с диаметром MB
, а т.к вписанные в исходную окружность углы ABC
и AMC
равны, то
\angle AMC=\angle ABC=\angle XBY=\angle XMY.
Значит, треугольники AMC
и XMY
подобны по двум углам. Тогда, поскольку MK
и MN
— соответствующие медианы в этих треугольниках, а AKM
и XNM
— соответствующие углы, то
\angle ZKM=\angle AKM=\angle XNM=\angle ZNM.
Таким образом, из точек K
и N
, лежащих по одну сторону от прямой ZM
, отрезок ZM
виден под одним и тем же углом. Значит, точки K
, N
, Z
и M
лежат на одной окружности. Вписанный в эту окружность угол KZM
равен 90^{\circ}
, поэтому KM
— диаметр окружности. Следовательно, \angle MNK=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.