12695. Равные окружности \alpha
и \beta
пересекаются в двух точках, одна из которых — P
. Обозначим через A
и B
точки, диаметрально противоположные точке P
в окружностях \alpha
и \beta
соответственно. Третья окружность, равна первым двум, проходит через точку P
и пересекает \alpha
и \beta
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что XY\parallel AB
.
Решение. Пусть \gamma
— третья окружность из условия задачи, а Z
— точка этой окружности, диаметрально противоположная точке P
. Точка X
лежит на окружности \alpha
с диаметром AP
, поэтому \angle AXP=90^{\circ}
. Аналогично, \angle PXZ=90^{\circ}
, значит, точки A
, X
и Z
лежат на одной прямой. Аналогично для точек B
, Y
и Z
.
Поскольку PA=PB=PC
как диаметры равных окружностей, точка P
— центр описанной окружности треугольника AZB
. Это означает, что PX
и PY
— серединные перпендикуляры к сторонам AZ
и BZ
этого треугольника. Тогда XY
— его средняя линия. Следовательно, XY\parallel AB
.
Примечание. Точки A
и Z
симметричны относительно прямой PX
, следовательно, AX=XZ
и аналогично, BY=YZ
.