12703. Пусть BD
— высота треугольника ABC
со стороной AB=1
. Центр вписанной окружности треугольника BCD
совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC
. Найдите AC
и BC
.
Ответ. AC=BC=\sqrt{\frac{5}{2}}
.
Решение. Точка пересечения медиан треугольника ABC
лежит на медиане CC'
и в то же время, — на биссектрисе угла ACB
, значит, CC'
— биссектриса треугольника ABC
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный. Обозначим AC=BC=a
.
Точка пересечения медиан треугольника ABC
лежит также на медиане BB'
треугольника ABC
и на биссектрисе угла DBC
. Значит, BB'
— биссектриса треугольника CBD
. По теореме о биссектрисе треугольника (см. задачу 1509)
\frac{B'D}{BD}=\frac{B'C}{BC}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2},~B'D=2BD.
Прямоугольные треугольники ABD
и ACC'
подобны, поэтому
\frac{1}{a}=\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AC'}=\frac{AB'-B'D}{\frac{1}{2}AB}=\frac{\frac{a}{2}-B'D}{\frac{1}{2}}=a-2B'D=a-BD,
откуда
1=a^{2}-aBD,~a^{2}-1=aBD.
Из прямоугольного треугольника ACC'
получаем
CC'=\sqrt{AC^{2}-AC'^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{1}{4}},
поэтому
a^{2}-1=aBD=2S_{\triangle ABC}=AB\cdot CC'=1\cdot\sqrt{a^{2}-\frac{1}{4}}=\sqrt{a^{2}-\frac{1}{4}}.
Из уравнения
a^{2}-1=\sqrt{a^{2}-\frac{1}{4}},
учитывая, что a\gt1
, находим a=\sqrt{\frac{5}{2}}
.